Prospettività tra piani

Siano dati, nello spazio Proiettivo, due piani  e  che si intersecano lungo la  retta u. Evidenziando un punto P, del piano , ed introducendo un punto proprio A, esterno ai piani, si esegua la proiezione di P da A.

Proiettare il punto P dal punto A significa: condurre l’unica retta che è possibile determinare geometricamente  tra i punti P e A. La retta r, cosí ottenuta, viene definita retta proiettante e può essere sezionata con uno degli infiniti piani dello spazio.

Determinando, sul piano ,  il punto di intersezione della retta proiettante, si è rintracciata in modo biunivoco la posizione del Punto P', intesa come: proiezione del punto P, da un punto proprio A, su di un piano . La corrispondenza che si  viene a stabilire tra il piano  ed il piano , attraverso il centro di proiezione A, è denominata Prospettività di centro A.

La Prospettività è una corrispondenza biunivoca senza eccezioni, in quanto, scegliendo  un punto qualsiasi sul piano , ad esso corrisponderà esclusivamente  il punto P' sul piano , (a seguito della proiezione da A) e, viceversa, a P' non potrà che corrispondere il solo punto P appartenente a , perché per i due punti in esame può passare solo una retta: la retta r. Rileviamo che due punti corrispondenti sono allineati con il centro della prospettività ed appartengono ad un'unica retta proiettante. All’intersezione dei due piani, legati da questa particolare corrispondenza, troviamo la retta u, che viene definita: asse della prospettività di centro A, luogo geometrico dei punti uniti dei piani  e . 			

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Se, al punto proprio A, si sostituisse un punto improprio A∞ (infinito), il concetto appena espresso approderebbe alle stesse conclusioni.otterremmo anche in questo caso una corrispondenza biunivoca tra i punti P e P'.
 
Introducendo un secondo punto Q, appartenente al piano ,  si ripetano le operazioni di proiezione e sezione poc'anzi descritte ottenendo una seconda immagine Q' sul piano . 

Unendo i due punti reali P e Q individueremo la retta r del piano ; la retta passante per  i punti P' e Q' sarà inevitabilmente l'immagine r' della retta oggettiva, perché costruita attraverso due proiezioni di punti della retta r  sul piano . 

Le rette corrispondenti nella prospettività si incontrano lungo la retta di incidenza dei due piani, dimostrando che la corrispondenza biunivoca senza eccezioni intercorre anche tra rette che contengono almeno due punti corrispondenti. 

In considerazione del fatto che due rette corrispondenti si incontrano sempre lungo l'asse u della prospettività, tutti i punti di questa retta particolare sono punti uniti; l'asse u viene definito per questo motivo luogo geometrico dei punti uniti dei piani  e .

Al fine di verificare che la regola non ammette eccezioni, immaginiamo di proiettare dal punto di vista A alcuni punti particolari del piano , ovvero i punti impropri di un certo numero di rette appartenenti ad esso.

Considerando che le rette proiettanti sono contenute in un piano parallelo al piano oggettivo , avremmo avuto lo stesso risultato costruendo un piano ,  passante per il			

punto di vista, ed individando successivamente la retta intersezione con il piano di proiezione. Le corrispondenti delle rette improprie sono denominate rette limite della prospettività ed hanno la caratteristica di essere parallele all'asse u.

Dovremo disegnare, dal punto A, le rette parallele alle direzioni individuate dai punti impropri presi in esame, ed indicare, sul piano ,  i punti di intersezione delle rette proiettanti. La retta che otterremo unendo questi punti sarà l'immagine della retta impropria del piano  sul piano , ovvero la retta limite della prospettività.

Per descrivere la seconda retta limite basterà, mantenere immutato il punto di vista e condurre, per A, un piano parallelo ad ,  evidenziando la retta intersezione di quest'ultimo con il piano .

Nel caso specifico, le rette limite verificano  le seguenti condizioni geometriche:

•	La condizione di parallelismo con l'asse u della prospettività.
•	La regola generale secondo la quale: rette corrispondenti si incontrano in un punto lungo l'asse u ed in questo caso si tratta di un punto particolare, ovvero il punto improprio delle rette aventi in comune tale direzione.

			

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