10

L'Omologia piana

Consideriamo, nello spazio proiettivo, due piani:  e , tra loro incidenti; individuiamo, ad una distanza finita, un centro di proiezione  proprio  A, che utilizzeremo per proiettare il punto P, appartenente al piano ,  sul quadro ; visualizziamo u, la retta d'intersezione tra i due piani.

L'operazione di proiezione, dal punto di vista A, del punto P sul piano di  proiezione , consente di definire la  prospettività tra il punto reale e la sua immagine posta sul quadro. Il centro della prospettività è il punto A, mentre la retta "unita" u è l'asse. 

Nulla ci vieta di introdurre un secondo punto di vista B, esterno ai piani, dal quale ripeteremo le operazioni di proiezione del punto P e, sezione della retta proiettante così ottenuta con il quadro .

Anche in questo caso ci troviamo di fronte ad una prospettività tra i piani  e , cambia solamente il centro della prospettività, che ora, è individuabile nel punto B. 

Il problema che ci dovremo porre sarà il seguente: stabilire la relazione geometrica tra le due immagini del punto P, ottenute sul quadro , a seguito di due proiezioni distinte,  da due centri di proiezione diversi: A e B, esterni ai piani  e .

Unendo con una retta i due centri di proiezione, potremo rintracciare il punto O all'intersezione della stessa con il piano . Se ora tracciamo una retta tra l'immagine P'A  e l'immagine P'B, osserviamo che questi due punti risultano essere allineati con  il punto O che viene definito: centro dell'omologia.

			

11

E' definito "Omologico",  il rapporto geometrico che esiste tra  immagini di una stessa figura oggettiva, quando si esegue una sua proiezione su di uno stesso piano, da più punti di vista non coincidenti.

La retta u, che è comune al piano di appartenenza dell'oggetto reale ed al piano sul quale si effettuano le proiezioni, prende il nome di asse dell'omologia. 

Al fine di estendere il concetto a tutti gli elementi geometrici, facciamo passare una retta r per il punto P, ed individuiamo il punto unito Q sull'asse omologico.

Costruiamo ora l'immagine della retta r proiettandola sul quadro, prima dal centro di proiezione A, e poi, dal centro di proiezione B, ottenendo rispettivamente le retta r'A ed r'B. Possiamo ora definire la regola generale secondo la quale: rette che si corrispondono sul piano in un rapporto omologico, hanno il punto di intersezione lungo l'asse dell'omologia.

Un'utile applicazione dei concetti appena espressi può ritrovarsi nella costruzione dei triangoli omologici.

Consideriamo un triangolo C.D.E.  appartenente al piano  ed operiamone la proiezione sul piano , inizialmente dal punto di vista A e, successivamente, dal punto di vista B.
 Stabilendo che le due figure piane triangolari, ottenute a seguito delle proiezioni sul piano , sono figure corrispondenti in un rapporto omologico,  individuiamo il centro dell'omologia all'intersezione della retta che unisce i due punti di proiezione con il quadro.

			

12

Trattandosi di omologia, dovremo accertarci che siano verificate le relazioni caratteristiche tra punti e rette corrispondenti. In  effetti i  punti corrispondenti sono  alli neati con il centro dell'omologia O; rette corrispondenti hanno il punto di incidenza lungo l'asse u dell'omologia.

Per non fare confusione tra i concetti di prospettività e di omologia, si tenga sempre presente che due elementi geometrici legati da un rapporto di prospettività appartengono a piani diversi, mentre due figure omologhe appartengono ad uno stesso piano.

Dal punto di vista applicativo, l'omologia viene utilizzata per ricostruire rapporti, dimensionali ed angolari, di elementi della realtà che sono stati rappresentati graficamente attraverso un metodo  che non ne consente l'immediata misurazione.

Introducendo, quindi, un'ulteriore proiezione dell'oggetto, spesso un ribaltamento, sul medesimo piano di lavoro (foglio da disegno), possiamo fare riferimento direttamente ad  alcuni fattori dimensionali che possono agevolare la costruzione del disegno in questione.

Si prenda ad esempio la costruzione delle circonferenze nella prospettiva; vedremo nella lezione specifica che l'omologia semplificherà molto la costruzione di queste figure piane, che devono essere ricavate attraverso la ricerca  di una serie numerosa di  punti, altrimenti difficilmente individuabili con la precisione richiesta.