L'Omotetia

Consideriamo, nello spazio proiettivo, due piani:  e , tra loro paralleli, ed aggiungiamo una coppia di punti: A e B, ad essi esterni.
 
Si introduca il punto P appartenente al piano  e lo si proietti rispettivamente da A e da B, onde ricavarne la sua doppia proiezione sul piano .

Le due immagini del punto P, sono tra loro in una corrispondenza omologica di centro O, perchè abbiamo proiettato un elemento oggettivo (P) da due centri di proiezione diversi (A e B) su di uno stesso piano (). 

Siamo però in presenza di una particolarità: dove si trova l'asse dell'omologia?
Essendo  e due piani tra loro paralleli, la relativa retta di incidenza si trova all'infinito ed è quindi impropria.

Questa caratteristica, non modifica assolutamente le condizioni generali di corrispondenza tra punti e tra rette, infatti, come si può osservare nel filmato, i punti  corrispondenti P'A  e P'B  sono allineati con il centro dell'omologia O.

Verifichiamo successivamente la condizione di corrispondenza tra rette omologhe, introducendo un secondo punto oggettivo Q ed operando la sua doppia proiezione sul quadro. Anche in questo caso risulta verificato l'allineamento dei punti omologhi con il centro O.
Avendo definito due coppie di punti corrispondenti, non dovremo far altro che tracciare le due rette r'A  e r'B;  risulta evidente che le due rette sono tra loro parallele.			

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Ne consegue che il loro punto di intersezione si troverà all'infinito, lungo la retta impropria comune ai piani  e .

L'omotetia è quindi un caso particolare di omologia piana che si ottiene quando l'asse del rapporto omologico è improprio ed il centro è un punto proprio.
Nello spazio proiettivo, queste condizioni si verificano se il piano di proiezione -  - ed il piano di riferimento -  - sono tra loro paralleli.

Nel caso particolare, in cui il centro dell'omotetia è un punto improprio, l'omotetia prende il nome di traslazione.

Anche in questo caso, così come nella lezione sull'omologia, utilizzeremo i triangoli per applicare concretamente i concetti appena studiati.

Consideriamo un triangolo C.D.E. appartenente al piano , ed operiamone la proiezione sul piano ; prima dal punto di vista A e, successivamente, dal punto di vista B. 
Le due figure piane triangolari, ottenute a seguito delle proiezioni sul piano , sono figure corrispondenti in un rapporto omologico;  individuiamo il centro dell'omologia O all'intersezione della retta che unisce i due punti di proiezione con il quadro.

Trattandosi di un caso particolare di omologia, dovremo accertarci che siano verificate le relazioni caratteristiche tra punti e rette corrispondenti. 
In  effetti i  punti corrispondenti sono allineati con il centro dell'omologia O, inoltre le rette corrispondenti hanno il punto di incidenza (improprio) lungo l'asse - u - dell'omologia,  che risulta coincidere con la retta impropria comune ai piani  e 

			

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