L'Affinità

Consideriamo, nello spazio proiettivo, due piani  e , incidenti nella retta u.
Si introduca il punto P, appartenente al piano , e lo si proietti  sul quadro  dal punto improprio A∞, esterno al sistema.

La rappresentazione grafica del punto "improprio" avviene attraverso un vettore che rende visibile la direzione, ovvero l'elemento comune a tutte quelle rette che sono legate tra loro dalla condizione di parallelismo e che si intersecano, all'infinito, nel punto stesso.

Proiettare il punto P da un punto improprio A∞, significa far passare per questo punto, una retta proiettante che ha direzione parallela all'immagine vettoriale di A; all'intersezione della retta proiettante con il quadro, individuiamo il punto proiettato P'A.

Eseguendo le stesse operazioni di "proiezione e sezione" di P, da un secondo punto improprio B∞, otteniamo sul quadro un'ulteriore immagine: P'B;

Le due immagini di P: P'A. e P'B, si trovano su di uno stesso piano   e sono il  risultato di due proiezioni di una stessa figura oggettiva, operate da due punti distinti di proiezione: A∞  e B∞.
Tra le due proiezioni,  intercorre quindi, una relazione di omologia piana, il cui centro sarà sicuramente un punto improprio, perchè i centri di proiezione sono posti all'infinito. 
Definiamo un secondo punto Q, appartenente a , e ripetiamo la doppia proiezione di questo punto dai due centri impropri A∞ e B∞.			

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A seguito di queste operazioni, abbiamo ottenuto un'altra coppia di punti corrispondenti, attraverso i quali  possiamo verificare che:
•	punti corrispondenti sono allineati con il centro, improprio, dell'omologia;
•	rette corrispondenti si incontrano lungo l'asse u.
Possiamo definire affinità, quel caso particolare di relazione omologica che si ha quando il centro dell'omologia è improprio, ovvero i punti corrispondenti sono allineati secondo rette parallele. 
Nel caso in cui la direzione delle rette sia ortogonale rispetto all'asse u, ci troveremmo di fronte ad un'affinità ortogonale.
Spazialmente un'affinità si genera quando la retta che unisce i due centri di proiezione risulta essere parallela al piano di proiezione e questo può avvenire secondo le seguenti eventualità: 
a)      un centro di  proiezione è "proprio" l'altro è "improprio"; la retta che li 
         unisce è parallela al quadro;
b)      i  centri di proiezione sono entrambi "improprio";
c)      i due centri di proiezione sono  "proprio", ma appartenenti ad un piano 
         parallelo al  quadro.
Applichiamo il concetto di affinità ad una figura piana, utilizzando anche in questo caso un  triangolo. 

Consideriamo un triangolo C.D.E. appartenente al piano  ed operiamone la proiezione, sul quadro ,  dal punto di vista A∞  e, successivamente dal punto di vista B∞ . 			

Stabilendo che le due figure piane triangolari, ottenute a seguito delle proiezioni sul piano , sono figure corrispondenti in un rapporto omologico,  individuiamo il centro dell'omologia Z∞ e l'asse u. Rette corrispondenti si incontrano in un punto (proprio) dell'asse u, e risulta verificato l'allineamento dei punti corrispondenti rispetto al centro improprio dell'omologia: tra i due triangoli intercorre un rapporto di affinità omologica.

Mantenendo invariati i  piani e la figura oggettiva, modifichiamo la posizione dei centri di proiezione e studiamo gli effetti di questi cambiamenti. Questa volta A e B sono due punti posti a distanza finita rispetto al sistema di riferimento ed appartengono ad un piano parallelo al piano di proiezione; infatti unendo i due centri di proiezione otteniamo una retta s  parallela al quadro .

Operiamo la doppia proiezione del triangolo reale sul quadro ,  ed a conferma di quanto detto a proposito della definizione di affinità, verifichiamo che, nuovamente, si ottiene una corrispondenza omologica tra le due immagini dei  triangoli; il centro dell'omologia è anche in questo caso "improprio" e le rette corrispondenti si incontrano lungo l'asse u.

Abbiamo quindi verificato che si può avere un caso di affinità anche quando i centri di proiezione sono entrambi "propri". 
Quando la retta che unisce i due centri di proiezione risulta essere, oltre che parallela al piano, anche  parallela  all'asse u, l'affinità viene definita speciale.			

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